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Beginnen wir mit einer harmlosen Frage: 
Wie lange ist der Schatten eines um den Winkel a
relativ zur Horizontalen geneigten Stabes der Länge 1, wenn die
Sonne senkrecht auf ihn herabscheint? Betrachten Sie die nebenstehende
Skizze: Die rote Strecke stellt den Stab
dar, der Pfeil symbolisiert das von oben einfallende Licht.
Der Winkel a soll beliebig
gewählt werden können (im Beispiel rechts ist a = 51°).
Gesucht ist die Länge der grünen
Strecke.An dieser Stelle tritt eine Überraschung auf, die viele Lernende vor eine völlig neue Situation stellt, und die mit den Schwierigkeiten, die die Winkelfunktionen vielen Menschen bereiten, zusammenhängt: Das Problem ist nicht mit Hilfe der Rechenoperationen, die wir bisher kennengelernt haben, zu lösen! Nur in Ausnahmefällen ist die Länge des Schattens durch bereits bekannte "schöne" Zahlen auszudrücken (z.B. für a = 60° ist sie 1/2, für a = 45° ist sie 2-1/2), aber etwa für a = 51° ergibt sich eine (reelle) Zahl, die sich nicht in dieser oder einer ähnlichen Weise angeben lässt. Wir können das hier nicht begründen, aber es ist wichtig, es zu wissen, um die Vorgangsweise, die wir nun beschreiten werden, zu verstehen. Obwohl 
wir zunächst nicht wissen, wie wir die Länge des Schattens
für (beispielsweise) a = 51°
berechnen können, ist klar, dass sie durch die Fragestellung
eindeutig bestimmt ist. Um eine grobe Näherung zu erhalten,
können wir eine (möglichst) genaue Zeichnung nach Art der
obigen Skizze anfertigen und die Länge der grünen Strecke
abmessen. Es ergibt sich ein Wert von ungefähr 0.63. Ein
solches Verfahren ist aber vom mathematischen Standpunkt aus betrachtet
unbefriedigend. Was wir allerdings in jedem Fall tun können,
ist, dem genauen Resultat einen Namen zu geben: wir nennen
es Cosinus.Die Länge der grünen Strecke wird als cos a oder, mit Klammer, als cos(a) geschrieben und "Cosinus alpha" oder "Cosinus von alpha" ausgesprochen. Da der Schatten die Länge des Bildes ist, das die Sonne auf den Boden "projiziert", können wir formulieren: cos a ist die Länge der Projektion einer Strecke, die - wie in der linksstehenden Skizze - um den Winkel a geneigt ist und die Länge 1 hat. Ist a = 51°, wie in unserem Beispiel, so schreiben wir cos(51°). Das Symbol cos(51°) stellt also eine reelle Zahl dar (sie ist ungefähr 0.63), cos(60°) stellt eine andere reelle Zahl dar (nämlich 1/2), usw. Ganz analog dazu können wir den Stab 
mit horizontal einfallendem Licht beleuchten und fragen, wie lange
sein auf eine senkrechte Wand geworfener Schatten ist. Auch diese
Länge lässt sich im Allgemeinen nicht mit Hilfe der
uns bereits bekannten Rechenmethoden angeben, und wir nennen sie Sinus.Die Länge der blauen Strecke in der rechtsstehenden Skizze wird als sin a oder, mit Klammer, als sin(a) geschrieben und "Sinus alpha" oder "Sinus von alpha" ausgesprochen. Wieder handelt es sich um eine Projektion, diesmal allerdings entlang horizontal einfallender Lichtstrahlen. sin a kann auch als die scheinbare Länge, unter der wir den roten Stab aus großer Entfernung vor seinem Hintergrund sehen, gedeutet werden. Ist beispielsweise a = 51°, so schreiben wir sin(51°). Sinus und Cosinus (und einige andere Größen, die wir weiter unten daraus gewinnen werden) heißen Winkelfunktionen oder trigonometrische Funktionen. Die Bezeichnung "Funktionen" rührt daher, dass jedem Winkel a die beiden Zahlen sin a und cos a zugeordnet werden. Mathematisch betrachtet ist das nichts Aufregendes. Wenn wir einer Zahl x ihr Quadrat zuordnen und das als f(x) = x2 schreiben, tun wir im Prinzip nichts anderes. Der Unterschied zum Quadrieren besteht nur darin, dass die numerische Berechnung von sin a und cos a für einen gegebenen Winkel a aufwendiger ist als das Quadrieren einer gegebenen Zahl. Zum Glück können wir diese Arbeit Werkzeugen überlassen, die das für uns tun, z.B. dem Computer oder dem Taschenrechner. Auch diese Werkzeuge liefern für die meisten Winkel nur numerische Näherungswerte, die aber, ähnlich wie beim Wurzelziehen, für praktische Anwendungen ausreichend genau sind. |  Funktionen 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Wir bitten Sie also, zu akzeptieren, dass Sie die Art und Weise,
wie Rechenmaschinen das machen, in diesem Kapitel nicht kennenlernen
werden. Das hindert uns aber nicht daran, diese Werkzeuge zu
benutzen: Geben Sie einige Winkel ein und klicken Sie auf die Buttons mit den Gleichheitszeichen, um deren Sinus und Cosinus anzeigen zu lassen! Wir können nun auch das obige Beispiel (a = 51°) mit hoher Genauigkeit lösen: Unsere kleine Rechenmaschine sagt uns, dass cos(51°) = 0.6293203910498375 ist, und das ist die gesuchte Länge des Schattens, den das senkrecht einfallende Sonnenlicht am Boden wirft. Genau genommen ist auch das nur ein Näherungswert, aber für alle praktischen Zwecke ist er sogar zu genau. Hat der rote Stab etwa eine Länge von einem Meter, so können wir die Länge seines Schattens getrost als 62.9 cm angeben. Sinus und Cosinus (letzterer manchmal auch "Kosinus" geschrieben), sowie alle weiteren Winkelfunktionen, die Sie in diesem Kapitel noch kennenlernen werden, spielen in der Mathematik und in zahlreichen Anwendungen eine wichtige Rolle. Ihre überragende Bedeutung rührt letzten Endes daher, dass sie einfachen und sehr allgemeinen (d.h. oft auftretenden) geometrischen Fragestellungen entspringen. Dass ihre numerische Berechnung keine leichte Sache ist und zunächst an Computerwerkzeuge oder Taschenrechner delegiert wird, mag zwar ein bisschen lästig erscheinen, sollte aber die Tatsache ihrer prinzipiellen Einfachheit (und Schönheit, wie viele MathematikerInnen sagen würden) nicht verdecken. |
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Wir wissen nun im Prinzip, 
was der Sinus und der Cosinus eines Winkels sind und sehen uns nun
einige Dinge an, die wir damit anstellen können. In jeder der
Grafiken des vorigen Abschnitts erkennen wir ein rechtwinkeliges Dreieck:
In der rechtsstehenden Grafik haben wir es hervorgehoben. Außerdem
haben wir das Ganze ein bisschen gedreht, denn auf die Lage des Dreiecks
in der Zeichenebene kommt es nicht an. Mit Hilfe dieser Grafik können
wir unsere beiden Winkelfunktionen auf eine andere Weise charakterisieren:In einem rechtwinkeligen Dreieck, dessen Hypothenuse die Länge 1 hat, sei a einer der beiden nicht-rechten Winkel. Dann ist
betrachten wir ein rechtwinkeliges Dreieck, das denselben Winkel a
besitzt, dessen Hypothenuse aber nicht unbedingt die Länge 1
hat. Wir erhalten es, indem wir unser bisheriges Dreieck "aufblasen"
oder "schrumpfen", und zwar so, dass alle Winkel erhalten
bleiben. Das ursprüngliche und das links abgebildete Dreieck sind
einander ähnlich. In beiden
Dreiecken ist die (dem Winkel
a) gegenüberliegende Kathete (blau)
um den Faktor sin a kürzer
als die Hypothenuse, und in beiden Dreiecken ist die Ankathete (grün)
um den Faktor cos a kürzer
als die Hypothenuse. In diesem Sinn können
sin a und cos a
als Verkürzungsfaktoren verstanden werden.
Dieser Sachverhalt kann formal mit Hilfe des Strahlensatzes
bewiesen werden. Wir sehen also, dass
in jedem rechtwinkeligen Dreieck gilt:
| Ähnlichkeit und Strahlensatz (in Vorbereitung) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Um sich diese Formeln besser merken zu können, ziehen Sie am
besten folgende "Eselsbrücke" heran: Der Sinus
gehört zur gegenieberliegenden
Kathete, der Cosinus zur onliegenden
Kathete. In den meisten Lehrbüchern werden Sinus und Cosinus
durch die Eigenschaften (1) und (2)
eingeführt. Mit Hilfe des nebenstehenden Applets,
in dem ebenfalls (1) und (2) als Ausgangspunkte
genommen werden, können Sie sich mit diesen Beziehungen
ein bisschen besser vertraut machen. Um zu illustrieren, 
wie diese Eigenschaften beim Rechnen verwendet werden, betrachten
wir folgende Vermessungsaufgabe: Wie in nebenstehender Skizze dargestellt,
wird die direkte Entfernung einer Beobachtungsstation zu einem Berggipfel
mit 3.7 km gemessen. Der Gipfel erscheint unter einem Höhenwinkel
von 19.5°. Wie hoch ist der Berg?Lösung: Erkennen Sie das rechtwinkelige Dreieck in der Skizze? Wir wenden die Beziehung (1) an:
Daher ist h = sin(19.5°) × 3.7 km. Unter Zuhilfenahme der obigen Rechenmaschine ergibt sich sin(19.5°) = 0.3338, daher h = 0.3338 × 3.7 km = 1.24 km, wobei wir das Resultat in vernünftiger Weise gerundet haben. Wenn Sie derartige Aufgaben lösen, empfiehlt es sich, einen Rechner (z.B. einen Taschenrechner, den mathe online Mini-Rechner oder JavaCalc) bereitzuhalten. Am Ende dieses Kapitel finden Sie ein paar Tipps zum computerunterstützten Rechnen mit Winkelfunktionen. |
Applet Definition der Winkelfunktionen | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Unsere 
oben gegebenen Definitionen von Sinus und Cosinus sind genau
genommen noch nicht ganz vollständig. Erinnern wir uns: Wir haben
Sinus und Cosinus eingeführt als die Längen der Schatten
eines geneigten Stabes der Länge 1, einmal unter vertikalem
Lichteinfall (cos a) und
einmal unter horizontalem Lichteinfall (sin a).
In der nebenstehenden Skizze ist das noch einmal dargestellt, wobei
wir den (roten) Stab aber diesmal mit
einem Ende in den Ursprung eines rechtwinkeligen Koordinatensystems
gehängt haben und die "Schatten" (oder Projektionen)
entlang der Achsen einzeichnen. Der Winkel a
wird relativ zur horizontalen Achse (x-Achse)
im Gegenuhrzeigersinn gemessen.Nun sehen wir, dass wir den Winkel a vergrößern können, indem wir den roten Stab wie einen Uhrzeiger (allerdings gegen den Uhrzeigersinn) drehen. Das äußere Ende des Zeigers beschreibt dadurch einen Kreisbogen (mit Radius 1). Wir wollen solche Diagramme als "Zeigerdiagramme" bezeichnen. Die 
Drehung des Zeigers kann über die vertikale Lage hinaus fortgesetzt
werden. Eine solche Lage des Zeigers beschreiben wir, wie in der linksstehenden
Skizze dargestellt, mit einem Winkel, der größer als 90°
ist. Wir können nun auch hier (analog zur obigen Skizze) die
Projektionen auf die Achsen einzeichnen und dadurch Sinus und Cosinus
für Winkel größer als 90° definieren. Dabei
kommen wir überein, eine vom Ursprung nach links oder
nach unten weisende Strecke als negativ zu zählen.
Der im Beispiel links eingestellte Winkel ist 131°. Die Länge
der grünen Strecke ist ungefähr
0.656. Der Cosinus dieses Winkels ist daher ungefähr -0.656,
also negativ! Probieren Sie es selbst mit Hilfe der
obigen Rechenmaschine aus! sin(131°) hingegen ist positiv
(ungefähr 0.755), da die blaue Strecke vom Ursprung
aus nach oben weist.Wenn wir den roten Zeiger weiterdrehen, können wir jeden Winkel zwischen 0° und 360° einstellen, und in all diesen Fällen legt unsere Vorschrift ganz eindeutig fest, wie groß Sinus und Cosinus sind und welche Vorzeichen sie haben. Der Button rechts ruft eine Übersicht über alle dabei auftretenden Vorzeichenkombinationen auf. Die Vorzeichen von Sinus und Cosinus hängen davon ab, in welchem der vier Quadranten der Zeiger, der den Winkel a repräsentiert, liegt. (Die Quadranten teilen die Zeichenebene in vier Bereiche ein, die von den Achsen begrenzt werden. Sie werden im Gegenuhrzeigersinn von 1: "rechts oben" über 2: "links oben" und 3: "links unten" bis 4: "rechts unten" gezählt). Wir können den Zeiger sogar noch weiterdrehen, wobei dann allerdings nichts Neues mehr auftritt: Ein Winkel von 370° unterscheidet sich nicht von 10° - dementsprechend sind auch die Winkelfunktionen gleich, z.B. sin(370°) = sin(10°). Wir können den Zeiger auch zurückdrehen und a wieder verkleinern, bis wir zu negativen Zahlen gelangen. Aber auch das bringt nichts Neues: Ein Winkel von -10° unterscheidet sich nicht von 350° - dementsprechend sind auch die Winkelfunktionen gleich, z.B. sin(-10°) = sin(350°). Unsere Rechenmaschine weiß das auch - probieren Sie es! | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Wieso wollen wir Sinus und
Cosinus für alle Winkel definieren, und wieso tun wir
es auf diese Weise? Vor allem, weil es für viele Zwecke praktisch
ist. Winkel zwischen 90° und 180° (sogenannte "stumpfe"
Winkel, im Gegensatz zu "spitzen" Winkeln zwischen 0°
und 90°) treten auch in der Praxis auf. Und wenn der rote
Zeiger nach rechts weist und um 1° nach unten geneigt ist, so
ist die Angabe -1° kürzer (und
auch für die Vorstellung günstiger) als 359°. Diese
Konvention hat aber auch theoretische Konsequenzen. So ist zum Beispiel
die Summe zweier Winkel wieder ein Winkel. Sind a
und b zwei Winkel (d.h. beschreiben
zwei Zeigerstellungen), so ist a + b
wieder ein Winkel, da ja jeder Wert zulässig ist. Wir müssen
dabei nur bedenken, dass Winkel, die sich um 360° (oder Vielfache
davon) unterscheiden, miteinander identifiziert werden. Wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden, lassen sich mit Hilfe der Zeigerdiagramme zahlreiche grundlegende Eigenschaften der Winkelfunktionen mühelos beweisen. Diese Diagramme stellen eine wertvolle Hilfe dar, und es lohnt sich, sie im Gedächtnis zu behalten. Im nebenstehenden Applet können Sie den Winkel interaktiv verändern und sich die Sache dynamisch ansehen. Der rechte Teil des Applets zeigt eine graphische Darstellung der Winkelfunktionen, die einem späteren Kapitel vorbehalten ist, die Sie aber vielleicht jetzt schon interessant finden (ansonsten ignorieren Sie sie einfach). Eine der Eigenschaften, die aus den Zeigerdiagrammen hervorgehen, betrifft den Wertebereich von Sinus und Cosinus: Die Werte dieser beiden Funktionen können nie kleiner als -1 oder größer als 1 sein. Das folgt unmittelbar daraus, dass die Projektionen des Zeigers auf die Achsen nicht länger als er selbst (der ja die Länge 1 hat) sein können. Wir können also formulieren, dass für alle Winkel a
gilt. | Die Graphen von sin, cos und tan | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Nun wissen Sie bereits ziemlich viel über die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus. Der nebenstehende Button ruft zwei Beispiele (die Drehbewegung und die harmonische Schwingung) auf, die illustrieren, wie wichtig diese Konzepte für die Physik sind. |
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Die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus zählen zu den wichtigsten mathematischen Funktionen überhaupt. Sie besitzen zahlreiche Eigenschaften, die sowohl in Anwendungen wie auch in der reinen Mathematik benötigt werden. Von einigen dieser Eigenschaften soll jetzt die Rede sein. Der Satz des Pythagoras Vielleicht 
werden Sie überrascht sein, hier einen alten Bekannten zu treffen:
den pythagoräischen Lehrsatz! Betrachten wir -
wie zu Beginn dieses Kapitels - ein rechtwinkeliges
Dreieck, dessen Hypothenuse die Länge 1 hat. Nebenstehend ist
eine der bereits oben verwendeten Grafiken wiedergegeben. (Solche
Dreiecke sind auch in den Zeigerdiagrammen des vorigen Abschnitts
enthalten). Der Satz des Pythagoras besagt, dass im rechtwinkeligen
Dreieck die Summe der Quadrate der Katheten(längen) gleich dem
Quadrat der Hypothenuse(nlänge) ist. Auf das nebenstehende Dreieck
angewandt bedeutet das, dass für jeden Winkel a
die Identität
gilt. Dabei ist sin2a eine Kurzschreibweise für (sin a)2, gesprochen: "Sinus-Quadrat a". Diese Formel ist nichts anderes als eine - zu Beginn vielleicht ungewöhnliche - Art, den Pythagoräischen Satz auszudrücken. Sie zeigt einen einfachen Zusammenhang zwischen Sinus und Cosinus auf. Ist etwa - für irgendeinen Winkel a - sin a bekannt, so gilt | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Periodizität und (Anti-)Symmetrie Aus den Zeigerdiagrammen ergibt sich, dass Sinus und Cosinus periodische Funktionen sind: Wird zu einem Winkel a der volle Winkel 360° addiert, so ist der Zeiger in derselben Position wie für a. Daher gilt
Wir sagen auch: Die Periode (oder Periodenlänge) dieser beiden Funktionen ist 360°. Weiters gilt
weshalb der Sinus als antisymmetrische, der Cosinus als symmetrische Funktion bezeichnet wird. (Die volle Bedeutung dieser beiden Begriffe wird erst in einem späteren Kapitel klar werden). |  Periodizität (Anti)Symmetrie | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Identitäten mit Supplementär- und Komplementärwinkeln Einige weitere nützliche Identitäten ergeben sich für Winkel, die einander zu 90° (Komplementärwinkel) oder 180° (Supplementärwinkel) ergänzen, und solche, die sich um 90° oder 180° unterscheiden:
Die Werte von Sinus und Cosinus für beliebige Winkel ergeben sich also ganz einfach aus jenen für Winkel zwischen 0° und 90°. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Doppelte Winkel Sind unsere beiden Winkelfunktionen für einen Winkel a bekannt, so sind sie für den doppelten Winkel durch
gegeben. Wir beweisen diese beiden Formeln hier nicht. Sie sind Spezialfälle der im nächsten Punkt zu besprechenden Identitäten. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Summensätze (Additionstheoreme) für Sinus und Cosinus Zusätzlich zu den bisher besprochenen Beziehungen zwischen Sinus und Cosinus gelten einige weitere Identitäten, die zwei (beliebige) Winkel enthalten, und die einer gewissen (mathematischen) Schönheit nicht entbehren. Sie sind unter dem Namen Summensätze oder Additionstheoreme bekannt. Wir verzichten hier darauf, sie zu beweisen (das geschieht am bequemsten im Rahmen der Komplexen Zahlen), sondern geben sie lediglich wieder. Für zwei beliebige Winkel a und b gilt immer
Setzen wir b = a, so erhalten wir (12) und (13). Weiter unten werden wir die Summensätze für zwei andere Winkelfunktionen erwähnen. | Komplexe Zahlen (in Vorbereitung) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Weitere Eigenschaften dieser beiden Winkelfunktionen können Sie mit Hilfe des nebenstehenden Buttons aufrufen. Ihre exakten Werte für einige spezielle Winkel sind in einem späteren Abschnitt aufgelistet. Mehr Informationen finden Sie in einschlägigen Formelsammlungen, z.B. im Abschnitt Trigonometrische Funktionen von DeskTop Mathematik. |
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Neben Sinus und Cosinus sind noch einige andere Funktionen, die von ihnen abgeleitet sind, gebräuchlich. Insbesondere bekommen die Quotienten aus Sinus und Cosinus eigene Namen: Tangens und Cotangens (letzterer manchmal auch "Kotangens" geschrieben). Wir definieren:
Beachten Sie, dass diese beiden Ausdrücke die Kehrwerte voneinander sind, also eng zusammenhängen: ihr Produkt ist 1. (Auf manchen Taschenrechnern findet sich gar keine Taste für den Cotangens, da er als 1/Tangens berechnet werden kann). Manchmal werden statt tan und cot die Abkürzungen tg und ctg verwendet. Hier eine kleine Rechenmaschine für diese beiden Winkelfunktionen: Im Unterschied zu Sinus und Cosinus sind Tangens und Cotangens für einige Winkel nicht definiert: Berechnen Sie beispielsweise tan(90°) oder cot(0°). Unser Rechner gibt "Infinity" aus, womit er anzeigt, dass eine Division durch Null versucht worden ist. Aus den Definitionen (16) und (17) können wir auch den Grund dafür erkennen:
Tangens und Cotangens im rechtwinkeligen Dreieck | Applet Definition der Winkelfunktionen | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Auch
Tangens und Cotangens treten als Seitenverhältnisse in jedem
rechtwinkeligen Dreieck auf. Mit Hilfe der Definitionen (16) und (17)
ergibt sich aus (1) und (2)
Sehen wir uns als Anwendungsbeispiel eine kleine Vermessungsaufgabe an: Der Gipfel eines 1.24 km hohen Berges wird unter einem Höhenwinkel von 19.5° gesehen. 
Wie weit ist der Beobachter vom Fußpunkt des Gipfels entfernt?Lösung: Erkennen Sie das rechtwinkelige Dreieck in der Skizze? Wir wenden die Beziehung (18) an:
Daher ist d = 1.24 km/tan(19.5°). Unter Zuhilfenahme des obigen Tangens-Cotangens-Rechners ergibt sich tan(19.5°) = 0.3541, daher d = 1.24 km/0.3541 = 3.502 km (wobei der abermals gerundete Wert d = 3.50 km für die meisten Zwecke ausreichen wird). In der Praxis werden Sie übrigens nicht zuerst tan(19.5°) berechnen und danach erst die Division ausführen, sondern - wenn es Ihr Rechner oder das verwendete Programm zulässt - gleich die gesamte Anweisung zur Berechnung von 1.24/tan(19.5°) eingeben. (Zur Verwendung elektronischer Rechenhilfen sagen wir weiter unten mehr). Tangens und der Anstieg | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Dem Tangens kommt eine ganz besondere Stellung zu, da er den Zusammenhang
zwischen dem Steigungswinkel und dem Anstieg (der Steigung)
einer  Geraden
ausdrückt. Um den Anstieg einer Geraden zu bestimmen,
wird, wie in der nebenstehenden Skizze dargestellt, ein "Steigungsdreieck"
gezeichnet. Der Quotient k = Dy/Dx
wird als Anstieg der Geraden bezeichnet -
er hat in allen Steigungsdreiecken denselben Wert, unabhängig von
ihrer Größe. Definition (18) sagt uns dann, dass der Anstieg
gleich dem Tangens des Steigungswinkels ist:
| Anstieg (in Vorbereitung) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Ist also beispielsweise der Steigungswinkel einer Straße 12°, so ist ihr Anstieg tan(12°), was näherungsweise 0 .21 ist. Die Verkehrstafel, die die Steigung der Straße anzeigt, wird dann die Aufschrift "21%" tragen (was als "21 Meter Höhenunterschied pro 100 Meter laut Straßenkarte zurückgelegter Entfernung" gelesen werden kann). Für eine senkrechte Gerade ist der Anstieg kein sinnvolles Konzept, was genau der Tatsache, dass tan(90°) und tan(-90°) nicht definiert sind, entspricht. | Der Anstieg einer Geraden | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Eigenschaften von Tangens und Cotangens Die 
oben für Sinus und Cosinus aufgelisteten Beziehungen implizieren
eine Reihe nützlicher Eigenschaften von Tangens und Cotangens.
Wie Sinus und Cosinus lassen sie sich in Zeigerdiagrammen geometrisch
interpretieren. Nebenstehend ist ein solches Diagramm abgebildet. Der
Winkel a wird durch den (roten)
Zeiger repräsentiert. Der Tangens dieses Winkels kann als Abschnitt
auf der hellblau eingezeichneten Geraden
g
(der sogenannten Tangens-Schiene) abgelesen werden. Er ist, wie
sich aus der Beziehung (20) ergibt, der Anstieg des Zeigers,
der in der Skizze durch eine strichlierte Linie bis zur Tangens-Schiene
fortgesetzt wurde. Auch für Winkel größer als 90°
und für negative Winkel wird der Tangens an derselben Geraden
g
abgelesen. Mit dieser Methode kann auch sein Vorzeichen für derartige
Winkel leicht ermittelt werden. Für a = 90°
und a = -90°
ist der Zeiger parallel zur Tangens-Schiene. Hier haben wir den geometrischen
Grund dafür, dass der Tangens für diese Winkel nicht definiert
ist. Sehen Sie sich die Sache auch im linken Teil des nebenstehenden
Applets an. Für den Cotangens gilt Analoges, wobei lediglich die
Rolle der Achsen vertauscht werden muss.Aufgabe: Zeichnen Sie Sinus, Cosinus und Tangens in ein einziges Zeigerdiagramm ein. Versuchen Sie, anhand dieses Diagramms zu beweisen, dass der Abschnitt auf der Tangens-Schiene tatsächlich die in (16) definierte Größe ist. (Tipp: Es treten zwei zueinander ähnliche Dreiecke auf). | Die Graphen von sin, cos und tan | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Wie Sinus und Cosinus sind
Tangens und Cotangens periodische Funktionen; allerdings
ist die Periode für sie kürzer -
sie beträgt 180°:
Eine Reihe weiterer Eigenschaften (unter anderen die Summensätze für Tangens und Cotangens) können Sie mit Hilfe des nebenstehenden Buttons aufrufen. Die exakten Werte der beiden Funktionen für einige spezielle Winkel sind weiter unten aufgelistet. Für mehr Informationen konsultieren Sie eine Formelsammlung wie z.B. den Abschnitt Trigonometrische Funktionen von DeskTop Mathematik. Weitere Winkelfunktionen | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Wir merken am Ende dieses Abschnitts an, dass bisweilen auch andere Winkelfunktionen,
die sich aus den bisherigen ableiten, verwendet werden. Es handelt sich
dabei in allen Fällen lediglich um Abkürzungen, die für
gewisse Zwecke praktisch sind. So sind -
vor allem in der englischsprachigen Literatur -
der Secans und der Cosecans gebräuchlich. Sie sind
definiert durch sec a =1/cos a
und csc a = 1/sin a.
In verschiedenen Spezialgebieten der Mathematik wird man über weitere
Winkelfunktionen, wie zum Beispiel den Semiversus, definiert
als sem a = sin2(a/2),
stolpern. Die älteste Winkelfunktion wurde im zweiten vorchristlichen
Jahrhundert von Hipparchos von Nicäa tabelliert: die Sehnenfunktion,
die in der modernen Form als chord a = 2 sin(a/2)
geschrieben wird. |
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Für manche Winkel lassen sich die Winkelfunktionen durch die uns bisher bekannten Rechenoperationen, insbesondere durch Quadratwurzeln, darstellen. In der folgenden Tabelle sind einige dieser Winkel und die zugehörigen Funktionswerte aufgelistet:
In allen Brüchen, die Quadratwurzeln enthalten, sind die Nenner rational gemacht. Das Symbol ± ¥ deutet an, dass der betreffende Wert nicht definiert ist. |
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Es gibt verschiedene Winkelmaße, d.h. Systeme, um die Größe eines Winkels anzugeben. Die 
Ihnen wahrscheinlich vertrauteste Methode ist das Gradmaß,
das auf der Einteilung des vollen Kreises in 360 "Winkelgrade"
beruht. Wieso der volle Winkel ausgerechnet 360 Grad misst, hat historische
Gründe und ist vom mathematischen Standpunkt aus gesehen gar
nicht so vorteilhaft. Für viele Zwecke günstiger ist ein
anderes System, das sogenannte Bogenmaß. In ihm wird
die Größe eines Winkels durch die Länge des entsprechenden
Bogens am Einheitskreis gemessen. Das ist in der nebenstehenden
Skizze dargestellt: Anstatt den Winkel a
in Grad anzugeben, dient die Länge des hellblauen
Bogenstücks als Maß für seine Größe. Der
volle Winkel ist im Bogenmaß durch den Umfang des Einheitskreises
gegeben, d.h. durch 2p.Beispiel: Ein Winkel von 60° (also ein Sechstel des vollen Winkels) ist im Bogenmaß p/3, das ist ungefähr 1.0472. Hier sehen wir einen der Nachteile des Bogenmaßes: "Runde" Winkel wie 30°, 45°, 60°, 90°, 180° oder 360° werden durch irrationale Zahlen dargestellt. Sie werden am besten als rationale Vielfache von p angeschrieben (wie p/3 für 60°). Eine Winkelangabe im Bogenmaß geschieht meist ohne Angabe einer "Einheit" (d.h. ohne ein Symbol wie °). Manchmal wird die Angabe "Radiant" (abgekürzt rad) herangezogen und wie eine Einheit verwendet (z.B.: 60° ist p/3 rad, also ungefähr 1.0472 rad), aber das ist nicht unbedingt notwendig. Weiters wird gelegentlich für die Umrechnung eines Winkels in das Bogenmaß die Bezeichnung arc (lateinisch: arcus = der Bogen) verwendet, z.B. arc(60°) = p/3. Die Umrechnung zwischen Grad- und Bogenmaß ist eine einfache Sache: Ist a ein im Gradmaß gegebener Winkel, so ist sein Wert im Bogenmaß 2p × a/360°. Umgekehrt muss ein Wert im Bogenmaß 360°/(2p) mit multipliziert werden, um den entsprechenden Winkel im Gradmaß zu bekommen. Zur Bezeichnungsweise: Wir haben Winkeln bisher mit griechischen Buchstaben bezeichnet. Das wird oft auch beibehalten, wenn das Bogenmaß verwendet wird. Die Angabe a = 60° bedeutet dann dasselbe wie a = p/3. Also Achtung: Die Verwendung des Bogenmaßes wird in dieser Konvention nur daran erkannt, dass das Grad-Symbol ° fehlt! Da die Größe eines Winkels im Bogenmaß durch eine (Bogen-)Länge dargestellt wird, sind auch andere Buchstaben gebräuchlich (wie z.B. x, der typische Buchstabe für eine Variable).  Das
Bogenmaß eines Winkels kann auch anhand eines Kreises mit beliebigem
Radius r
ermittelt werden. Hat, wie in der nebenstehenden Skizze, der zugehörige
Kreisbogen die Länge s,
so ist der Winkel a im Bogenmaß
durch den Quotienten s/r
gegeben. Für den Einheitskreis (r = 1)
reduziert sich das auf die obige Definition. Der Grund für diese
Eigenschaft besteht darin, dass alle "Tortenecken" mit demselben
Winkel a zueinander ähnlich
sind. Sie unterscheiden sich lediglich in ihrer Größe,
sind also jeweils "aufgeblasene" oder "geschrumpfte"
Versionen voneinander. Daher ist das Längenverhältnis s/r
für all diese Figuren gleich, kann also als Maß für
den Winkel dienen.Nun wenden wir uns wieder den Winkelfunktionen zu. Einige unserer bisherigen Formeln haben sich auf das Gradmaß bezogen und können ins Bogenmaß umgeschrieben werden. So wird die Periodizität (6) von Sinus und Cosinus im Bogenmaß durch
ausgedrückt, und die Beziehungen (8)-(11) übersetzen sich zu
Auch die für Tangens und Cotangens angegebenen Beziehungen sowie die obige Tabelle mit Werten der Winkelfunktionen für spezielle Winkel können ins Bogenmaß übersetzt werden (siehe den nebenstehenden Button). | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Im Bogenmaß sind der Sinus
und der Tangens für kleine Winkel ungefähr gleich dem
Winkel selbst:
wenn |a| << 1 ist. Ist a im Gradmaß gegeben, so müssen diese Formeln zu sin a » tan a » 2p × a/360° abgeändert werden. Manche Taschenrechner und Computerprogramme unterstützen beide Winkelmaße; andere wiederum benutzen nur das (in der höheren Mathematik als natürlicher geltende) Bogenmaß. Das sollte bei der Verwendung elektronischer Rechenhilfen immer bedacht werden - mehr dazu weiter unten. |
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Manchmal kennt man den Wert einer Winkelfunktion für einen bestimmten Winkel und möchte gern den Winkel selbst kennen. Sei beispielsweise a jener Winkel (zwischen 0° und 90°), für den sin a = 0.2 ist. Wie groß ist a? Da diese Problemstellung über die uns bisher bekannten Rechenoperationen hinaus weist, geben wir dem Resultat einen Namen - wir nennen es Arcus Sinus, abgekürzt asin - und überlassen die Berechnung Werkzeugen, die das für uns tun. Der Name leitet sich vom Bogenmaß her: gesucht ist der Winkel ( = Bogen = arcus). asin(0.2) ist also jener Winkel, dessen Sinus 0.2 ist. Alle wissenschaftlichen Taschenrechner und viele Rechenprogramme am Computer liefern uns das Resultat auf Knopfdruck: Der gesuchte Winkel ist näherungsweise (im Gradmaß) 11.537° bzw. (im Bogenmaß) 0.2014. Arcus Sinus ist die zum Sinus "inverse Funktion" (oder "Umkehrfunktion"). Der Grund für diese Benennung ist einfach zu verstehen: "Invertieren" heißt, salopp gesagt, "umkehren" oder "umdrehen". Die Sinusfunktion ordnet jedem Winkel seinen Sinus zu, und die Arcus-Sinus-Funktion macht das Umgekehrte: sie ordnet jedem Sinuswert den Winkel zu, ganz ähnlich, wie das Wurzelziehen die zum Quadrieren inverse Funktion ist. Allerdings müssen wir bei einer mathematisch genauen Definition der Arcus-Sinus-Definition eines berücksichtigen: es gibt zwei Winkel, deren Sinus 0.2 ist, nämlich 11.537° und 168.463° (das sind Supplementärwinkel; ihre Summe ist 180°). Erinnern wir uns an Formel (10) - sie besagt, dass Winkel, deren Summe 180° ist, denselben Sinus haben. Wenn wir die Sinusfunktion invertieren wollen, müssen wir also festlegen, welcher dieser beiden Winkeln unter asin(0.2) verstanden werden soll. (Der andere kann dann als Supplementärwinkel daraus gewonnen werden). Auch das kann in Analogie zum Wurzelziehen als Umkehrung des Quadrierens verstanden werden: es gibt zwei Zahlen, deren Quadrat 4 ist (nämlich -2 und 2), und nur eine davon (nämlich die positive) wird als "Wurzel aus 4" bezeichnet. (Die andere kann dann als die dazu Negative gewonnen werden). Die genaue Definition des Arcus Sinus lautet: Sei -1 £ x £ 1. Dann ist asin x jener Winkel a, für den sin a = x ist, und der zwischen -90° und 90° (im Bogenmaß: zwischen -p/2 und p/2) liegt. Zu beachten ist, dass die Funktion asin nicht für jede reelle Zahl definiert ist: Da etwa die Zahl 2 nicht der Sinus eines Winkels sein kann - vergleiche (3) -, existiert asin(2) ebenso wenig wie die Wurzel aus -4. Wenn Sie einem Rechner dennoch eine solche Anweisung geben, wird er entweder mit einer Fehlermeldung reagieren oder eine komplexe Zahl ausgeben. (Im Rahmen der komplexen Zahlen kann ein Quadrat negativ und ein Sinus größer als 1 sein, aber das braucht uns im Moment nicht zu kümmern). Ganz analog kann mit den anderen Winkelfunktionen verfahren werden. Hier eine Tabelle der wichtigsten inversen Winkelfunktionen (auch Arcus-Funktionen genannt) und der zugehörigen Winkelbereiche:
asin und acos sind für alle reellen Zahlen zwischen -1 und 1, atan und acot für alle reelle Zahlen ohne Einschränkung definiert. Zusätzlich zu den in der Tabelle angegebenen Bezeichnungen sind auch noch manchmal Varianten wie arctg, ctg-1, inv tg und ähnliche zu finden. Die Bezeichnungen mit "inv" sind auf Taschenrechnern oft mit Hilfe von Zweitfunktionstasten realisiert. Die Ausgabe des berechneten Winkels kann meist wahlweise im Gradmaß oder im Bogenmaß erfolgen. (Weiter unten werden wir einige Tipps zur Verwendung von Taschenrechner und Computer geben). |
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Wir haben 
in einem früheren Kapitel bereits von den (ebenen) Polarkoordinaten
gesprochen. Ihr Sinn besteht darin, die Lage eines Punktes P
in der Zeichenebene, wie in der nebenstehenden Skizze angedeutet,
durch
Aus der obigen Skizze geht unmittelbar hervor, dass
ist. Damit können die kartesischen aus den Polarkoordinaten eines Punktes P berechnet werden. Sind umgekehrt die kartesischen Koordinaten (x, y) eines Punktes bekannt, so können seine Polarkoordinaten (r, f) aus den Gleichungen
| Polarkoordinaten | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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ermittelt werden: r
folgt durch Wurzelziehen aus der ersten Gleichung. Liegt P
im ersten oder vierten Quadranten
(d.h. ist x > 0),
so ist f
durch atan(y/x)
gegeben, ansonsten ist noch 180° (im Bogenmaß p)
hinzuzufügen (oder abzuziehen, was auf dasselbe hinausläuft). Setzen wir r = 1 in den Beziehungen (23)-(24), so ergibt sich eine einfache Deutung der oben verwendeten Zeigerdiagramme: cos a und sin a sind die (kartesischen) Koordinaten x und y des Zeiger-Endpunktes am Einheitskreis. Der Winkel a hat dabei die Bedeutung des Polarwinkels f. Polarkoordinaten werden in vielen (insbesondere physikalischen) Anwendungen der Mathematik verwendet und spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der komplexen Zahlen. |
Komplexe Zahlen (in Vorbereitung) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Jeder "wissenschaftliche Rechner" und zahlreiche Computerprogramme können mit Winkelfunktionen umgehen. Bei all diesen Werkzeugen sollten Sie auf einige Dinge achten:
Es gibt auch Programme, die symbolische (exakte) Berechnungen durchführen können. Ein solches, auf dem Computer-Algebra-System Mathematica beruhendes Werkzeug ist |
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Über Winkelfunktionen (und ihre Inversen) lässt sich noch viel sagen, und sie werden uns beim Fortschreiten des Stoffs noch oft begegnen.
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Trigonometrie (in Vorbereitung) Funktionen 2 * Differenzieren 1 * Integrieren * Differentialgleichungen (in Vorbereitung) Potenzreihen (in Vorbereitung) Komplexe Zahlen (in Vorbereitung) Fourierreihen (in Vorbereitung) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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